Довжина кола. Число π (Розробка уроку геометрії в 9 класі)

Урок геометрії у 9 класі

Тема: Довжина кола. Число p.

Мета:

освітня: вивести формулу довжини кола та показати її практичне застосування до розв'язування задач; формувати елементи інформаційної, життєтворчої компетентностей; активізувати пізнавальну активність учнів;

розвивальна: формувати вміння міркувати, аналізувати й робити висновки; розвивати творчі здібності й логічне мислення, кругозір учнів;

виховна: виховувати активність, увагу, інтерес до нових знань і прагнень їх набувати.

Тип уроку: засвоєння нових знань.

Обладнання: підручник (Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія: Підруч. для 7 – 9 кл. середн. шк. – К.: Освіта, 2001); опорні конспекти (Геометрія. 9 кл.); портрети вчених; мікрокалькулятор.

Хід уроку

І. Організаційний етап

Самоперевірка готовності учнів до уроку.

Розв'язання організаційних питань.

II. Актуалізація опорних знань

       1.          Репродуктивна бесіда з учнями:

·        дати означення правильних многокутників;

·        дати означення многокутників, вписаних у коло, і многокутників, описаних навколо кола; сформулювати властивість правильних многокутників.

       2.          Презентація кола та його елементів,

Я – коло, фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від позначеної точки. Цю точку називають центром кола.

У віршованій формі мене представлено так:

Одну у собі точку маю,

Яку всі центром називають.

Від точок інших всіх моїх,

Що їх, як кажуть, повний міх.

На рівній відстані стоїть

Він вперто протягом століть.

Й стоятиме, допоки світ,

Мільйони літ, мільярди літ.

Я маю відрізки, наприклад:

Відрізок, що сполучає центр кола з будь-якою точкою кола, називається радіусом.

Радіус – у перекладі з латини, означає «промінь».

Відрізок, що сполучає дві точки кола і проходить через центр кола, називають діаметром.

Слово «діаметр» походить від грецького «діаметрос», що означає «поперечник».

III. Мотивація пізнавальної діяльності учнів

Девіз уроку: Природа говорить мовою математики, букви цієї мови: трикутники, кола...

Г. Галілей

Недаремно італійський математик і фізик Галілео Галілей назвав буквою математики коло. Людей здавна цікавили круглі тіла. А скільки циліндричних, конічних, круглих тіл було в оточенні людей?! Уночі на небі вони бачили круглий Місяць. Кинувши камінець на гладінь води, спостерігали хвилі у вигляді кіл.

Давньогрецький учений Фалес ще в VI ст. до н. е. дав поняття кола та сформулював його властивості про те, що діаметр розбиває коло на дві рівні частини.

Закономірно постає питання про довжину кола.

IV. Оголошення теми і визначення очікуваних результатів уроку. Формулювання мети і завдання уроку

V. Сприйняття й засвоєння нового матеріалу

            1.     Робота з випереджальним домашнім завданням.

(Заздалегідь клас було розподілено на «домашні групи». Кожна група одержала круглі тіла: циліндри, конуси, пробірки з різними діаметрами основ. Завдання: користуючись ниткою і лінійкою, визначити довжину кола основи даного тіла, його діаметр).

            а)     Робота «домашніх груп» – учні доповідають про результати, заповнюють таблицю.
        

l
d
	l
	d

Обчисливши відношення 

учні роблять висновок про його сталість.

           б     б)     Робота «домашньої творчої групи».

(Попередньо опрацьовано текст підручника п. 119 та використано опорний конспект до нього.)

Перший представник від групи (доводить теорему).

Відношення довжини кола до його діаметра не залежить від кола, тобто одне й те саме для будь-яких двох кіл. (Опорний конспект додається.)

Другий член творчої групи.

Відношення довжини кола до діаметра прийнято позначати буквою p. Це означення першим увів У. Джонс у 1706 році, узявши першу букву грецького слова «реrерhеrеіа», що в перекладі означає край або обвід круглого тіла.

Л. Ейлер, скориставшись символом p у своїх роботах, зробив його загальновживаним:

Третій член творчої групи.

Послухайте вірш про цю властивість кола.

У мене властивостей багато,

Одну вам варто нагадати:

Відношення довжини кола до діаметра

Для всіх нас є завжди незмінним,

Приблизно 3 і 

                                 рівним.

За двісті років до нашої ери

Його обчислив мудрий Архімед

Майбутнє наперед йому відкрило двері.

Відношення це в світі знають

І «p» числом його всі називають...

Четвертий член творчої групи.

Слід ще відзначити, що з колами пов'язане одне місце в Біблії. Там читаємо: «І зробив лише із міді море – від краю його до краю десять ліктів і шнур у тридцять ліктів охоплював його кругом».

l = 30 ліктів, d = 10 ліктів.

Уже тоді знали, що п наближено дорівнює 3.

            2.     Історична сторінка про число p.

Уперше обчислив p на основі теоретичних міркувань Архімед (287 – 212 рр. до н. е.). Він користувався дробом, який захований у вірші:

Двадцять дві сови сиділи,

І завзято говорили,

Як їм 7 мишей зловити,

Що для цього слід зробити.

7 мишей, що грають в жмурки,

У яких гладенькі шкурки...

Хоч спіймати їх і важко

Та кортіло побалакать.

22 сови старенькі

Мріють 7 мишей зловити.

Який це дріб?

Китайські математики ще в V ст. для обчислення довжини кола ко­ристувалися числом, яке тепер називають числом Меція. Його до шостого десяткового знака обчислив голландський інженер Андрієн Антонич (1543 – 1620 рр.), відомий як Мецій, оскільки народився в м. Мец. Це дріб

Число p – ірраціональне, його можна виразити нескінченним неперіодичним десятковим дробом.

У 1579 році Франсуа Вієт, застосовуючи спосіб Архімеда, знайшов перші 9 точних десяткових знаків числа p.

У Середній Азії вже півтора століття були відомі 16 десяткових знаків, що їх обчислив в обсерваторії поблизу Самарканда астроном і математик ал-Коші. Невдовзі після Вієта його сучасник – фламандський математик Андрієн Ван Ромен також обчислив 16 точних десяткових знаків числа p.

Англійський математик і обчислювач Абрагам Шарп у 1705 році обчислив 72 знаки числа p. З винаходом ЕОМ їх було знайдено десятки тисяч. У 1961 році машина обчислила p з точністю до 100625 знаків, що становило 8 год 1 хв.

Ми здебільшого будемо користуватися значенням p ≈ 3.14.

За допомогою вислову

«Это	я	знаю	и	помню	прекрасно:
3	1	4	1	5	9

Пи	многие	знаки	мне	лишни,	напрасны!»
2	6	5	3	5	8

легко запам'ятати дванадцять цифр числа p:

p ≈ 3,14159265358...

VI. Застосування набутих знань до розв'язування вправ

     1.       Самостійна робота учнів (за варіантами) (для учнів середнього рівня). Впр. № 34 § 13.

     2.       Робота біля дошки (достатній рівень).

Вправа № 35

Розв'язання

Відповідь. 6,28 мм.

     3.       Індивідуальне розв'язання задачі.

Один з героїв Жуля Верна підрахував, яка частина його тіла пройшла довший шлях упродовж його кругосвітньої подорожі – голова чи ноги...

Уявімо, що він ішов екватором (R = 6370 км). На скільки при цьому голова пройшла більше, ніж ноги (зріст людини a = 1,8 м).

Розв'язання

Ноги пройшли шлях 2pR, а голова – 2p(R + a). Голова пройшла більше, ніж ноги на

Обчислюємо (використовуючи мікрокалькулятор)

Відповідь. На 11,3 м.

VII. Підсумок уроку

(Учитель пропонує учням дати оцінку результатам уроку, відповівши на запитання і водночас розв'язати завдання пізнавального характеру).

На Земній кулі є птахи – безпомилкові метеорологи. Вони прогнозують погоду на літо. Ці птахи будують гніздо із піску у вигляді зрізаного конуса, у верхній основі якого відкладають яйця. Висота гнізда залежить від того, яким буде літо: сухим чи дощовим. Якщо літо дощове – гніздо високе, щоб вода не затопила його, якщо сухе – гніздо низьке.

Якщо відповісти на запитання і скористатися шифром, можна дізнатися назву птахів.

Запитання

            1. Формула довжини кола.

            2. Відношення довжини кола до його діаметра.

       3. Буква p – перша буква грецького слова «реrерherеіа». Що означає це слово в  перекладі?

             4. Відстань від центра кола до будь-якої його точки.

             5.     Значення p, яким користуємося ми.

             6.     Відрізок, що сполучає дві точки кола.

                     7.     Значення числа p, яке використовував Архімед.

                     8.     Хорда, яка проходить через центр кола.

Шифр

p – Л

Діаметр – О

 Радіус – М

Край або обвід – А

Хорда – Н

3,14 – І

VIII. Домашнє завдання

Опрацювати п. 119. Впр. № 39 § 13. Скласти задачі прикладного змісту.

ІХ. Заключне слово вчителя

Якщо сьогодні в когось щось не вийшло – не засмучуйтесь.

Головне – прагніть до нового.

Не махай на все рукою,

Не лінуйся, а учись.

Бо чого навчися в школі,

Знадобиться ще колись.

Література

            1.     Погорєлов О. В. Геометрія. Планіметрія. Підруч. для 7 – 9 кл. серед. шк. –К.: Освіта, 2001.

            2.     Інтерактивні технології на уроках математики. – X.: Вид. група «Основа», 2007.

            3.     Геометрія. 9 клас. Опорні конспекти // Математика. – 2003. – № 27 – 28.

            4.     Бугай Л. С. Короткий тлумачний математичний словник. – К.: Радянська школа, 1964.

            5.     У пошуках числа p // Математика. – 1999. – № 1.

            6.     Вчені математики. Набір ілюстрованого матеріалу.

            7.     Бобров С. П. Чарівний дворіг. – К.: Наукова думка, 1971.